mba数学知识点概述（有理数、实数），原创二

有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ shù整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。 无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：
 　 (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 　　
       (2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。 　　
       (3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。 　　
       如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律 a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使 0+a=a+0=a；④乘法的交换律 ab=ba；⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。

运算

　    有理数加减混合运算 
        1.有理数加减统一成加法的意义： 　　
        对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。 　　
       2.有理数加减混合运算的方法和步骤： 　　
       (1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 　　
       (2)运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。 　　
       一般情况下，有理数是这样分类的： 　　  
       整数、分数；正数、负数和零；负有理数，正有理数。整数和分数统称有理数，有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。 　　
      凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。 　　 
      在有理数中，不是无限不循环小数的小数就是分数。

有理数的运算法则

一、加法

　　有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值. 在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中，一定要牢记"先符号,后绝对值"，熟练以后就不会出错了. 多个有理数的加法，可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.

法则

       1.同号相加,取相同符号,并把绝对值相加. 　　
       2.绝对值不等的异号加减,取绝对值较大的加数符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. 　　
       3.一个数同0相加,仍得这个数. 　　

定律

       Ⅰ.同号相加,取相同符号,并把绝对值相加. 　　
       Ⅱ.绝对值不相等的异号两数加减,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. 　　
       Ⅲ.一个数同0相加,仍得这个数. 　　
       Ⅳ.相反数相加结果一定得0。　

交换律和结合律
 　　有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为: 　　
      交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 　　
      结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)  
      三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

二、减法

　　有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成： a－b=a+（－b）。

三、乘法

　　（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。 
               例;（-5）×（-3）=15 （-6）×4=-24 　　  
       （2）任何数字同0相乘，都得0. 
              例;0×1=0 　　
      （3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负；当负因数有偶数个数时，积为正。并把其绝对值相乘。
             例;（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）×(-25）=积为负数 　　    （4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0. 
            例;3×（-2）×0=0 （5）乘积为一的两个有理数互为倒数（reciprocal）。
            例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3
 
四、除法
  
（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：0没有倒数） 　　
      （2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。 　　
      （3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。 　　
      （4）0在任何条件下都不能做除数。

实数

       包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

基本概念

　　实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。分数可以分为正分数和负分数。无理数可以分为正无理数和负无理数。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 　　
        实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。 　　
       1）相反数（只有符号不同的两个数，他们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。 　　
       2）绝对值（在数轴上一个数a与原点0的距离） 实数a的绝对值是：|a| 　　
           ①a为正数时，|a|=a（不变） 　　
           ②a为0时， |a|=0 　　
           ③a为负数时，|a|= -a（为a的绝对值） 　　
            (任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。) 　　
      3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0） 　　
      4）数轴 　　
     （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。 　　
     （2）数轴上的点与实数一一对应。