mba数学知识点概述（排列与组合）

基本计数原理

(1)加法原理和分类计数法

　　1．加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
　　2．第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
　　3．分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 。

(2)乘法原理和分步计数法

　　1. 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
　　2．合理分步的要求
　　任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

二项式定理

　　(a+b)^n=Σ(0->n)C(in)a^(n-i)b^i[1]
　　通项公式：a_(i+1)=C(in)a^(n-i)b^i
　　二项式系数：两端是1，除1外的每个数是肩上两数之和。
　　系数性质：（1）和首末两端等距离的系数相等；
　　（2）当幂指数是奇数时，中间两项最大且相等；
　　（3）当幂指数是偶数时，中间一项最大。
　　（4）奇数项和偶数项总和相同，都是2^(n-1)；
　　（5）所有系数总和是2^n

组合数的奇偶

　　奇偶定义：对组合数C(n,k) (n>=k)：将n,k分别化为二进制，若某二进制位对应的n为0，而k为1 ，则C(n,k)为偶数；否则为奇数。
 　　下面是判定方法：
 　　结论：
　　 对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
　　 证明：
 　　对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。
　 　证明：
 　　利用数学归纳法：
　　由C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);
　　对应于杨辉三角：
 　　1
　　1 1
　　1 2 1
　　1 3 3 1
　　1 4 6 4 1
　　………………
　　可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下， 　　C(n,k)满足结论。
 　　1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
 　　则有：(n-1)&k == k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1 　　。
 　　现假设n&k == k。
 　　则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。
 　　因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。
 　　所以得n&k != k。
 　　2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
 　　则有：(n-1)&k != k;
　　 (n-1)&(k-1) != k-1;
　　 现假设n&k == k.
 　　则对于k最后一位为1的情况：
 　　此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。 
 　　而对于k最后一位为0的情况：
 　　则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0。
 　　相应的，n对应的部分为： 1{*}*; *代表0或1。
 　　而若n对应的{*}*中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是10。
 　　则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。
 　　所以得n&k != k。
 　　由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。
 　　3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
 　　则有：(n-1)&k == k;
 　　(n-1)&(k-1) != k-1; 
 　　显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
 　　所以k的末尾必有一部分形如：10;
　　相应的，n-1的对应部分为： 1{*}*;
　　相应的，k-1的对应部分为： 01;
　　则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
　　所以n的对应部分也就为 ： 1{*}*; (不会因为进位变1为0)
　　所以 n&k = k。
 　　4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
 　　则有：(n-1)&k != k;
　　(n-1)&(k-1) == k-1;
　　 分两种情况：
 　　当k-1的最后一位为0时:
 　　则k-1的末尾必有一部分形如： 10;
　　 相应的，k的对应部分为 : 11;
 　　相应的，n-1的对应部分为 : 1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
 　　相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;
 　　所以n&k = k。
 　　当k-1的最后一位为1时：
 　　则k-1的末尾必有一部分形如： 01; (前面的0可以是附加上去的)
 　　相应的，k的对应部分为 : 10;
 　　相应的，n-1的对应部分为 : 01; (若为11，则(n-1)&k == k)
 　　相应的，n的对应部分为 : 10;
 　　所以n&k = k。
 　　由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。
 　　综上，结论得证。