数学提高讲解：数列无敌解法

基本数列是等差数列和等比数列

    一、等差数列

    一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d.

    得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列（即求出数列的通项公式）：

    1、首项a1和公差d

    2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

    3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

    等差数列的性质：

    1、前N项和为N的二次函数（d不为0时）

    2、a(m)-a(n)=(m-n)*d

    3、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列

    例题1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)

    解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8

    a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40

    a(25)=48

    例题2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)

    解：a(6)、a(9)、a(12)成等差数列

    a(12)-a(9)=a(9)-a(6)

    a(12)=2*a(9)-a(6)=25

    二、等比数列

    一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d.

    得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列（即求出数列的通项公式）：

    1、首项a1和公比r

    2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)

    3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

    等比数列的性质：

    1、a(m)/a(n)=r^(m-n)

    2、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列

    3、等比数列的连续m项和也是等比数列

    即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。

    三、数列的前N项和与逐项差

    1、如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的前N项和是关于N的多项式，最高次数为P+1。

    （这与积分很相似）

    2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。

    如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P-1。

    （这与微分很相似）

    例子：

    1，16，81，256，625，1296 （a(n)=n^4)

    15,65,175,369,671

    50,110,194,302

    60,84,108

    24,24

    从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。

    等比数列的逐项差还是等比数列

    四、已知数列通项公式A（N），求数列的前N项和S（N）。

    这个问题等价于求S（N）的通项公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），这就成为递推数列的问题。

    解法是寻找一个数列B（N），

    使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）

    从而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）

    猜想B（N）的方法：把A（N）当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系数。

    例题1：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N

    解：S（N）

=S（N-1）+N*2^N

    N*2^N积分得（N*LN2-1）*2^N/(LN2)^2

    因此设B（N）=（PN+Q)*2^N

    则 （PN+Q)*2^N-[P（N-1）+Q)*2^（N-1）=-N*2^N

    （P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N

    因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2

    B（N）=（-2N+2)*2^N

    A（1）=2，B（1）=0

    因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N）=（2N-2）*2^N+2

    例题2：A（N）=N*（N+1）*（N+2），求S（N）

    解法1：S（N）为N的四次多项式，

    设：S（N）=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E

    利用S（N）-S（N-1）=N*（N+1）*（N+2）

    解出A、B、C、D、E

    解法2：

    S（N）/3！=C（3，3）+C（4，3）+...C（N+2，3）=C（N+3，4）

    S（N）=N*（N+1）*（N+2）*（N+3）/4